1-9편. 컨벡서티란 무엇인가

"듀레이션의 맹점을 보완하다" - 채권 투자자의 숨은 친구

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8편에서 듀레이션을 배웠습니다. 금리가 1% 움직이면 가격이 몇 % 움직이는지 알 수 있었죠.

하지만 이상한 일이 벌어집니다.

듀레이션 10년 채권, 현재 가격 10,000원:

금리 1% 상승 → 듀레이션 예측: -10% (9,000원) 금리 1% 상승 → 실제 가격: 9,100원

어? 100원 덜 떨어졌네요?

금리 1% 하락 → 듀레이션 예측: +10% (11,000원) 금리 1% 하락 → 실제 가격: 11,100원

어? 100원 더 올랐네요?

듀레이션 예측이 틀렸을까요? 아닙니다. 듀레이션은 근사치입니다. 정확한 값을 구하려면 **컨벡서티(Convexity)**가 필요합니다.

그런데 재미있는 건, 이 오차가 항상 투자자에게 유리한 방향으로 난다는 겁니다. 금리가 오를 때는 예상보다 덜 떨어지고, 금리가 내릴 때는 예상보다 더 오릅니다.

왜 그럴까요? 오늘은 채권 투자자의 숨은 친구, 컨벡서티를 완전히 파헤쳐보겠습니다.

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컨벡서티란 무엇인가

컨벡서티는 **"채권 가격 곡선의 휘어진 정도"**를 측정합니다.

직선 vs 곡선

듀레이션은 채권 가격과 금리의 관계가 직선이라고 가정합니다.

실제로 그려보면:

금리가 5%일 때 가격이 10,000원이라고 칩시다.

듀레이션이 10년이면: 금리 4% → 가격 11,000원 (직선 예측) 금리 6% → 가격 9,000원 (직선 예측)

하지만 실제로는: 금리 4% → 가격 11,100원 (곡선) 금리 6% → 가격 9,100원 (곡선)

직선이 아니라 위로 볼록한 곡선입니다.

이 곡선의 휘어진 정도가 컨벡서티입니다.

왜 곡선인가

채권 가격은 미래 현금흐름의 현재가치입니다.

가격 = 이자1/(1+금리)¹ + 이자2/(1+금리)² + ... + (이자n+원금)/(1+금리)ⁿ

이 공식을 보면 금리가 분모에 있습니다. 분모가 변하면 비선형적으로 변하죠.

예를 들어: 1,000 / 1.05 = 952.38 1,000 / 1.10 = 909.09

금리가 5%에서 10%로 2배 오르면, 현재가치는 절반이 아니라 95.4%로 떨어집니다.

이런 비선형성이 곡선을 만듭니다.

투자자에게 유리한 비대칭성

핵심은 이겁니다: 위로 볼록하다는 건 투자자에게 유리합니다.

금리 1% 하락 시 이득 > 금리 1% 상승 시 손실

예시:

듀레이션 10년 채권, 컨벡서티 100:

금리 1% 상승: 듀레이션만: -10% 실제: -9.5% (컨벡서티 효과로 0.5% 완충)

금리 1% 하락: 듀레이션만: +10% 실제: +10.5% (컨벡서티 효과로 0.5% 보너스)

손실은 줄고, 이득은 늘어납니다!

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컨벡서티의 수학적 이해

수학을 좋아하지 않아도 이해할 수 있게 설명하겠습니다.

1차 근사 vs 2차 근사

듀레이션은 1차 근사입니다.

고등학교 수학으로 비유하면: 함수 f(x)를 x=a 근처에서 직선으로 근사 f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)

채권 가격으로 치면: 가격 변화 ≈ -듀레이션 × 금리 변화

컨벡서티는 2차 근사를 추가합니다.

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)²

채권 가격으로 치면: 가격 변화 ≈ -듀레이션 × 금리 변화 + (1/2) × 컨벡서티 × (금리 변화)²

2차 항이 추가되니까 더 정확합니다.

실제 계산

듀레이션 10년, 컨벡서티 100인 채권:

금리 1% 상승 시: 가격 변화 = -10 × 1% + 0.5 × 100 × (1%)² = -10% + 0.5 × 100 × 0.0001 = -10% + 0.5% = -9.5%

금리 2% 상승 시: 가격 변화 = -10 × 2% + 0.5 × 100 × (2%)² = -20% + 0.5 × 100 × 0.0004 = -20% + 2% = -18%

금리 변화가 클수록 컨벡서티 효과가 커집니다!

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컨벡서티에 영향을 미치는 요소

어떤 채권이 컨벡서티가 클까요?

요소 1: 만기

만기가 길수록 컨벡서티가 큽니다.

표면금리 5%, 금리 5% 환경:

1년 만기: 컨벡서티 약 2 5년 만기: 컨벡서티 약 30 10년 만기: 컨벡서티 약 100 30년 만기: 컨벡서티 약 600

장기채는 듀레이션도 길고 컨벡서티도 큽니다.

요소 2: 표면금리

표면금리가 낮을수록 컨벡서티가 큽니다.

10년 만기, 금리 5% 환경:

표면금리 2%: 컨벡서티 약 120 표면금리 5%: 컨벡서티 약 100 표면금리 8%: 컨벡서티 약 85

저금리 채권일수록 비선형성이 커집니다.

요소 3: 시장금리

시장금리가 낮을수록 컨벡서티가 큽니다.

10년 만기, 표면금리 5%:

시장금리 2%: 컨벡서티 약 130 시장금리 5%: 컨벡서티 약 100 시장금리 8%: 컨벡서티 약 80

금리가 낮은 환경일수록 가격 곡선이 더 휘어집니다.

특수 케이스: 할인채

할인채는 컨벡서티가 가장 큽니다.

10년 할인채: 컨벡서티 약 200 10년 이표채 (5%): 컨벡서티 약 100

이자 지급이 없으니까 모든 현금흐름이 만기에 집중됩니다. 비선형성이 극대화되죠.

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2022년 실전 분석: 컨벡서티의 위력

2022년 금리 급등을 컨벡서티로 분석해봅시다.

TLT (미국 20년+ 국채 ETF)

2021년 말 정보: 듀레이션: 17.5년 컨벡서티: 약 400 가격: 145달러

2022년 금리 변화: +2.5%

듀레이션만 사용: 가격 변화 = -17.5 × 2.5% = -43.75% 예상 가격: 145 × (1 - 0.4375) = 81.56달러

듀레이션 + 컨벡서티: 가격 변화 = -17.5 × 2.5% + 0.5 × 400 × (2.5%)² = -43.75% + 0.5 × 400 × 0.000625 = -43.75% + 12.5% = -31.25% 예상 가격: 145 × (1 - 0.3125) = 99.69달러

실제 2022년 말 가격: 100.50달러

컨벡서티를 고려하니 거의 정확합니다!

교훈

컨벡서티가 12.5%포인트의 손실을 막아줬습니다.

투자금 1억이었다면: 듀레이션만: -4,375만 원 실제 (컨벡서티 포함): -3,125만 원 차이: 1,250만 원

컨벡서티가 1,250만 원을 구한 겁니다!

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컨벡서티의 장점: 옵션 같은 속성

컨벡서티는 무료 옵션을 준 것과 비슷합니다.

옵션의 비대칭성

주식 콜옵션을 생각해봅시다.

주가 상승 → 큰 이득 (무제한) 주가 하락 → 작은 손실 (옵션료만)

비대칭적이죠. 이득은 크고 손실은 제한적입니다.

컨벡서티도 비슷합니다.

금리 하락 → 큰 이득 (듀레이션 예측 + α) 금리 상승 → 작은 손실 (듀레이션 예측 - α)

변동성이 클수록 유리

옵션은 변동성이 클수록 가치가 높아집니다.

컨벡서티도 마찬가지입니다.

금리 변동이 클수록:

• 컨벡서티 효과 증폭
• 비대칭성 이득 극대화

2020-2022년처럼 금리가 0% → 4%로 급변하는 시기에는 컨벡서티가 큰 채권이 유리했습니다.

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음의 컨벡서티: 투자자의 적

모든 채권이 양의 컨벡서티를 갖는 건 아닙니다.

콜 가능 채권

콜 가능 채권(Callable Bond)은 **음의 컨벡서티(Negative Convexity)**를 가질 수 있습니다.

회사가 채권을 조기 상환할 수 있는 권리가 있는 채권이죠.

금리 하락 시:

일반 채권: 가격 큰 폭 상승 콜 가능 채권: 가격 제한적 상승 (회사가 콜할 수 있으니까)

예시:

금리 5% → 3% 하락

일반 채권 (듀레이션 10년, 컨벡서티 100): 가격 변화 = -10 × (-2%) + 0.5 × 100 × 4% = +20% + 2% = +22%

콜 가능 채권 (음의 컨벡서티): 가격 변화 = +20% - 3% (콜 리스크) = +17%

금리 상승 시:

일반 채권: 컨벡서티로 손실 완충 콜 가능 채권: 콜 안 되니까 일반 채권과 비슷하게 하락

결과: 금리 하락 → 이득 제한적 금리 상승 → 손실 그대로

최악의 조합입니다!

왜 발행하나

발행자는 콜옵션을 좋아합니다. 금리 떨어지면 싸게 리파이낸싱할 수 있으니까요.

대신 투자자에게 보상을 줍니다: 높은 수익률

콜 불가 채권: YTM 4.0% 콜 가능 채권: YTM 4.5%

0.5% 추가 수익률이 음의 컨벡서티에 대한 보상입니다.

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모기지 담보부 증권 (MBS)의 함정

음의 컨벡서티의 대표적 사례가 MBS입니다.

MBS란

주택담보대출을 모아서 만든 채권입니다.

집주인들이 매달 내는 원금+이자가 투자자에게 갑니다.

조기상환 리스크

문제는 집주인들이 대출을 조기 상환할 수 있다는 겁니다.

금리가 5%에서 3%로 떨어지면? 집주인들이 리파이낸싱합니다. 5% 대출을 갚고 3% 대출로 갈아타는 거죠.

MBS 투자자는 돈을 돌려받습니다. 그럼 그 돈을 3%로밖에 재투자 못 합니다.

2020년 MBS 참사

2020년 코로나로 금리가 폭락했습니다.

일반 국채: 가격 +20% 상승 MBS: 가격 +5% 상승

왜? 조기상환이 쏟아졌으니까요.

MBS는 극심한 음의 컨벡서티를 보였습니다.

투자자들: "금리 떨어지면 채권 가격 오른다며?" 현실: "조기상환으로 가격 상승 제한됨"

교훈

높은 수익률에 현혹되어 MBS를 샀다가 큰 기회비용을 놓쳤습니다.

2020년 선택: A. 10년 국채 (양의 컨벡서티) → +20% 수익 B. MBS (음의 컨벡서티) → +5% 수익 차이: 15%포인트

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컨벡서티 전략: 실전 활용

컨벡서티를 어떻게 활용할까요?

전략 1: 변동성 높은 시기에 컨벡서티 극대화

금리 변동성이 클 것 같다면:

컨벡서티가 큰 채권을 삽니다.

2019년 말 상황: "코로나로 뭔가 큰 변화가 올 것 같은데, 금리가 오를지 내릴지 모르겠다"

전략: 장기 할인채 매수 (컨벡서티 극대화)

금리가 내리면: 큰 이득 금리가 오르면: 덜 손해

실제로 2020년 금리가 폭락했고, 30년 할인채는 +40% 이상 수익을 냈습니다.

전략 2: 바벨 전략

바벨(Barbell) 전략은 컨벡서티를 높입니다.

불렛(Bullet) 전략: 100% 10년물 (듀레이션 8년, 컨벡서티 80)

바벨 전략: 50% 2년물 + 50% 30년물 (평균 듀레이션 8년, 컨벡서티 150)

듀레이션은 같은데 컨벡서티가 거의 2배입니다!

금리 변동이 크면 바벨이 유리합니다.

2020-2022년 시뮬레이션:

불렛 (10년물): 2020년 (금리 하락): +15% 2022년 (금리 상승): -16% 총: -1%

바벨 (2년+30년): 2020년 (금리 하락): +20% (장기채 효과) 2022년 (금리 상승): -12% (단기채로 방어) 총: +8%

바벨이 9%포인트 앞섭니다!

전략 3: 콜 가능 채권 회피

금리 변동성 높은 시기:

콜 가능 채권을 피합니다.

음의 컨벡서티는 변동성이 클 때 더 불리하니까요.

0.5% 추가 수익률을 포기하더라도 콜 불가 채권을 삽니다.

금리 안정적인 시기:

콜 가능 채권도 괜찮습니다.

어차피 금리 변동이 작으면 콜될 일도 적고, 추가 수익률만 챙깁니다.

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컨벡서티 측정 방법

컨벡서티는 어떻게 구할까요?

방법 1: 공식 사용

수학적으로 컨벡서티는:

컨벡서티 = (1/가격) × Σ [t × (t+1) × 현금흐름t / (1+금리)^(t+2)]

복잡합니다. 실전에서는 엑셀이나 금융계산기를 씁니다.

방법 2: 근사 계산

더 쉬운 방법은 가격을 세 점에서 계산하는 겁니다.

현재 금리 5%에서 채권 가격: 10,000원

금리 4%에서 채권 가격: 10,800원 금리 6%에서 채권 가격: 9,300원

컨벡서티 근사: (10,800 + 9,300 - 2 × 10,000) / (10,000 × 0.01²) = (20,100 - 20,000) / (10,000 × 0.0001) = 100 / 1 = 100

방법 3: 상품 정보 확인

채권 ETF나 펀드는 팩트시트에 컨벡서티를 제공합니다.

"평균 듀레이션: 8.5년" "평균 컨벡서티: 95"

이걸 그대로 씁니다.

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듀레이션과 컨벡서티의 관계

둘은 독립적이지 않습니다.

일반적 패턴

듀레이션이 길면 컨벡서티도 큽니다.

하지만 비례하지는 않습니다.

1년 채권: 듀레이션 1년, 컨벡서티 2 10년 채권: 듀레이션 8년, 컨벡서티 100 (듀레이션의 8배인데 컨벡서티는 50배) 30년 채권: 듀레이션 17년, 컨벡서티 600 (듀레이션의 17배인데 컨벡서티는 300배)

장기채로 갈수록 컨벡서티가 기하급수적으로 커집니다.

같은 듀레이션, 다른 컨벡서티

듀레이션이 같아도 컨벡서티는 다를 수 있습니다.

A. 10년 이표채: 듀레이션 8년, 컨벡서티 100 B. 바벨 (2년+30년): 듀레이션 8년, 컨벡서티 150

이게 바벨 전략의 핵심입니다. 같은 금리 민감도에 더 높은 컨벡서티를 얻습니다.

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컨벡서티의 대가

컨벡서티는 공짜가 아닙니다.

대가 1: 낮은 수익률

컨벡서티가 높은 채권은 보통 수익률이 낮습니다.

10년 국채 (컨벡서티 100): YTM 4.0% 10년 콜 가능 회사채 (음의 컨벡서티): YTM 4.5%

0.5% 차이는 컨벡서티의 가격입니다.

투자자는 선택해야 합니다: A. 높은 컨벡서티 + 낮은 수익률 B. 낮은(또는 음의) 컨벡서티 + 높은 수익률

대가 2: 변동성

컨벡서티가 큰 채권은 듀레이션도 깁니다.

30년 할인채: 컨벡서티 최대 하지만 듀레이션 30년 → 엄청난 변동성

금리 1% 상승 시: 가격 -30% + 컨벡서티 효과 +4.5% = -25.5%

여전히 -25.5% 손실입니다. 컨벡서티가 완충해줘도 큰 손실이죠.

언제 대가를 치를 가치가 있나

금리 변동성이 클 것 같을 때:

컨벡서티의 가치가 높아집니다. 낮은 수익률을 감수할 가치가 있습니다.

금리가 안정적일 것 같을 때:

컨벡서티의 가치가 낮습니다. 높은 수익률을 추구하는 게 낫습니다.

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실전 사례: 2008 vs 2022

두 위기를 비교해봅시다.

2008년 금융위기

금리 변화: 5% → 0.5% (큰 폭 하락)

장기 국채 투자자 (듀레이션 15년, 컨벡서티 300):

듀레이션 효과: +15 × 4.5% = +67.5% 컨벡서티 효과: +0.5 × 300 × (4.5%)² = +30.4% 총: +97.9%

거의 2배가 됐습니다!

컨벡서티가 30.4%포인트 추가 이득을 줬습니다.

2022년 인플레이션 쇼크

금리 변화: 1.5% → 4% (큰 폭 상승)

같은 채권:

듀레이션 효과: -15 × 2.5% = -37.5% 컨벡서티 효과: +0.5 × 300 × (2.5%)² = +9.4% 총: -28.1%

컨벡서티가 9.4%포인트 손실을 막아줬습니다.

비대칭성

금리 4.5% 하락 → 컨벡서티 이득 +30.4% 금리 2.5% 상승 → 컨벡서티 이득 +9.4%

금리 변화 크기가 거의 2배 차이인데, 컨벡서티 효과는 3배 이상 차이입니다.

금리 변화 폭의 제곱이니까요!

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포트폴리오 관리: 듀레이션과 컨벡서티 균형

둘을 어떻게 균형 잡을까요?

목표 설정

보수적 투자자: 듀레이션 3년, 컨벡서티 15 → 안정성 우선, 금리 민감도 낮음

중립적 투자자: 듀레이션 7년, 컨벡서티 80 → 적당한 금리 민감도, 컨벡서티로 방어

공격적 투자자: 듀레이션 15년, 컨벡서티 300 → 금리 하락 베팅, 컨벡서티로 상승 시 방어

시장 상황별 조정

금리 안정기 (2010-2019): 듀레이션 높이고 컨벡서티는 신경 안 씀 → 수익률 극대화

금리 변동기 (2020-2022): 듀레이션 낮추고 컨벡서티 높임 → 방어 우선

불확실기 (현재): 중간 듀레이션, 높은 컨벡서티 (바벨 전략) → 어느 방향이든 대응 가능

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정리하며

컨벡서티를 정리해봅시다.

정의:

• 채권 가격 곡선의 휘어진 정도
• 듀레이션의 한계 보완
• 2차 근사 도구

특징:

• 양의 컨벡서티: 투자자에게 유리
• 금리 변화의 제곱에 비례
• 변동성 클수록 가치 높음

영향 요소:

• 만기 길수록 큼
• 표면금리 낮을수록 큼
• 할인채가 최대

음의 컨벡서티:

• 콜 가능 채권
• MBS
• 높은 수익률이 보상

활용:

• 변동성 높은 시기에 극대화
• 바벨 전략으로 컨벡서티 높임
• 듀레이션과 함께 관리

핵심 원칙:

컨벡서티는 채권 투자자의 친구입니다. 무료 옵션을 준 것과 같죠.

금리 변동성이 클 것 같으면 컨벡서티를 높이세요. 낮은 수익률을 감수할 가치가 있습니다.

듀레이션만 보면 반쪽 분석입니다. 컨벡서티까지 봐야 완전합니다.

특히 큰 금리 변화가 예상될 때는 컨벡서티가 수익률을 크게 좌우합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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